Ці існуе пэўная розніца паміж двайным інтэгралам і ітэраваным інтэгралам?


адказ 1:

Інтэгральны павярхоўны інтэграл супраць ітэраванага інтэграла:

Павярхоўны інтэграл - гэта неад'емны элемент, у якім функцыя інтэгруецца або ацэньваецца ўздоўж паверхні, якая ляжыць у прасторы большага памеру. (Двухмерны) павярхоўны інтэграл мяркуецца на форме, убудаванай у прастору больш высокага памеру.

У ітэраваны інтэграл, аднак, ён можа інтэграваць толькі функцыю, абмежаваную плошчай 2D у адносінах да бясконца малой вобласці

Гэта азначае, што, напрыклад, можна лічыць павярхоўны інтэграл шары ў трох вымярэннях. Мы можам адлюстраваць паверхню сферы на плоскасці, а потым узяць інтэграл.

Іншым прыкладам можа служыць куб у 3D. Зразумела, што паверхня куба 2D, але сам куб убудаваны ў прастору 3D. Мы можам узяць інтэграл над гэтай паверхняй.

Вы можаце думаць пра павярхоўныя інтэгралы наступным чынам: калі мы можам нейкім чынам разгарнуць, нацягнуць, паварочваць, разрэзаць і згінаць паверхню формы, каб зрабіць яе роўнай, мы можам перанесці яе паверхню на цэлую мяжу формы. Але сама форма не абавязкова плоская і, вядома, не двухмерная.

Ітэраваны інтэграл можа быць запісаны толькі ў двухмернай прасторы. Гэта азначае, што мы можам узяць яго толькі над часткай 2D прасторы. Як квадрат, круг або нейкая іншая форма з унутранага боку.

Такім чынам, павярхоўны інтэграл можа прывесці да ітэраванага інтэграла, калі мы зможам адлюстраваць паверхню ў двухмернай прасторы (нацягваць, паварочваць і г.д.), і наадварот, калі мы зможам аднесці двухмернае прастору да паверхні больш высокага памеру, мы можам узяць паверхню цэлай! Паміж імі ёсць добрая сіметрыя для досыць прыгожых паверхняў і формаў (хоць, калі разглядаць выключныя выпадкі, павярхоўны інтэграл больш агульны).

Інтэграл паверхні становіцца ітэраваным інтэгралам, калі паверхню праецыюецца на любую плоскую плошчу.


адказ 2:

Парадак інтэграцыі важны ў паталагічных выпадках. Напрыклад

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

, але знак інтэграла змяняецца, калі заказ адменены. (Улічваючы, што інтэграл існуе і не роўны нулю, цалкам відавочна, што знак змяняецца - абмен

xx

і

yy

.)

Але гэта не бывае, калі існуе двайны інтэграл. Такім чынам, двайны інтэграл павінен быць нязначна розным. Падвойныя інтэгралы вызначаюцца аналагічна адзіночным інтэгралам - падзяліце дамен і дайце часткам памеру нуль. Паўтаральны інтэграл падобны, але дамена падзелена на сетку прастакутнікаў, а шырыня і вышыня імкнуцца да нуля асобна, і парадак мае значэнне.

Калі вы знаёмыя з інтэграцыяй Лебега, прачытайце тэарэмы Фубіні-Танэлі.