У чым асноўная розніца паміж мноствам і бясконцым наборам?


адказ 1:

Я пішу асноўную розніцу паміж 3 катэгорыямі.

1: Канечны набор

2: Лічыльнік бясконцага сказа

3: Незлічоная колькасць.

Мы можам вылучыць 3 вышэйзгаданыя катэгорыі, праверыўшы іх зручнасць. Але справа ў тым, як праверыць падліковасць ...

У канчатковых наладах элементы, вядома, могуць быць падлічаны, напрыклад: A = {3, 5, 6, 9}, B = {a, e, i, o, u} C = {x: x <50, x належыць N} і г.д. і г. д. Ва ўсіх гэтых прыкладах кардынальнасць вельмі выразная.

Але ў INFINITE SETS: элементы могуць быць, а не падлічвацца. Мы пачынаем з бясконцага набору з найменшай кардынальнасцю ...

Набор натуральных лікаў N-> Бясконцыя, лічаныя

Мноства цэлых лікаў W-> Бясконцае, лічыльнае

Цэлы лік Z -> Бясконцыя, лічыльныя

Набор рацыянальных лікаў Q -> Бясконцыя, лічаныя

Мноства ірацыянальных лікаў I -> Бясконцае, незлічанае

Набор рэальных лікаў R -> Бясконцыя, незлічоныя

Бясконцае мноства можна палічыць, калі ёсць біектыўнае прызначэнне, то ёсць адпавядае адзін да аднаго паміж элементамі мноства і натуральным лікам. Гэта азначае, што мы можам размясціць элементы набору ў просты шэраг альбо ў радкі і слупкі. & мы вельмі ўпэўненыя, які нумар ідзе далей. І, вядома, мы можам размясціць элементы па колькасці ... як 1-ы элемент, 2-й элемент, 3-й элемент ... ... і гэтак далей ... Толькі што гэтыя радкі і слупкі працягваюць заставацца бясконцымі. з'яўляюцца ...

Напрыклад… натуральныя лікі 1,2,3,4,5,6,7, ……… .. бясконца

Цэлыя цэлыя O, 1,2,3,4,5, ………… бясконца

Цэлыя негатыўныя бясконцасці… .. -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5 …… бясконцасць

Каэфіцыенты 1/1, 1 / 2.1 / 3.1 / 4, …….

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5 .......

3 / 1,3 / 2,3 / 3,3 / 4, ...

4 / 1,4 / 2,4 / 3,4 / 4,4 / 5 ........

Калі мы будзем працягваць так, мы можам бачыць, што ўсе магчымыя перапынкі ўпісваюцца ў спісе вышэй у той ці іншай калонцы.

Такім чынам, усё вышэйсказанае - незлічоныя мноствы.

Цяпер мы даведаемся, што мноства рэальных лікаў - гэта аб'яднанне двух мностваў, рацыянальных і ірацыянальных

Колькасць рэальных лікаў незлічоная, бо паміж двума рэальнымі лікамі ёсць яшчэ адно рацыянальнае і ірацыянальнае лік. Такім чынам, біяктыўнае размеркаванне элементаў і натуральных лікаў не ўяўляецца магчымым.

Мноства рэальных лікаў таму незлічонае і мноства абгрунтаванняў можна падлічыць. Колькасць ірацыянальнага павінна быць незлічонай. Калі гэта не так, набор рэальных лікаў становіцца падліковым, што зусім не так.


адказ 2:

Калі ў нас ёсць канчатковае мноства і падлічваем яго элементы (гэта значыць, супастаўляем іх адно да аднаго з натуральнымі лікамі), колькасць заканчваецца, і адпаведнае натуральнае лік, якое мы скончылі, - гэта колькасць элементаў мноства.

Калі ў нас ёсць бясконцае мноства і лічым яго элементы, падлік не сканчаецца. Не існуе натуральнага ліку, якое адпавядае колькасці элементаў мноства.

У гэтым прынцыповая розніца. Іншымі словамі, элементы канечнага набору не могуць быць супастаўлены адзін з адным з усімі элементамі

N\mathbb N

. Ці тэхнічна, ін'екцыі няма

N\mathbb N

у абмежаванай колькасці, але ёсць такая ін'екцыя ў бясконцай колькасці.

Акрамя таго, любое бясконцае мноства мае ўласцівасць таго, што некаторыя яго элементы могуць быць выдалены, і тым не менш атрыманы набор можа быць супастаўлены адзін да аднаго з арыгінальным наборам (напрыклад, натуральныя нумары можна спарваць адзін на адзін са сваім падмноствам цотных лікаў). Гэта немагчыма пры абмежаваным наборы. Сапраўды, гэта адметная ўласцівасць: з яго дапамогай можна вызначыць істотную розніцу паміж канчатковым наборам і бясконцым наборам.


адказ 3:

Бясконцыя колькасці можна ўставіць у правільны набор. Канечныя велічыні не могуць.

Давайце распакуем гэта.

"Упырскванне" ад аднаго сказа да іншага азначае, што вы выбіраеце унікальны элемент у сказе "У" для кожнага элемента сказа "Ад".

Напрыклад, улічваючы колькасць бакоў куба і лічбы 1-10, ін'екцыя з бакоў у лічбы будзе ставіць рознае лік на кожнай баку куба. Калі вы пакладзеце па 1 з двух бакоў, гэта не будзе ін'екцыя. Звярніце ўвагу, што не ўсе элементы набору трэба выкарыстоўваць для ін'екцый. Чатыры лічбы не выкарыстоўваліся пры ўпырску з бакоў куба ў 1-10.

Правільная падмноства набору змяшчае ўсе яе элементы ў наборы, але не ўсе элементы ў наборы знаходзяцца ў падмностве. Напрыклад, мноства адназначных простых лікаў з'яўляецца правільным падмноствам ад 0 да 9, паколькі 2, 3, 5 і 7 значацца ад 0 да 9, але 8 не ўваходзіць у лік адназначных простых лікаў.

Давайце разгледзім "натуральныя лікі" і "нават натуральныя лікі". Зразумела, што ўсе нават натуральныя лікі - натуральныя лікі, таму прытчы - гэта мноства натуральных значэнняў. Зразумела таксама, што 3 - гэта натуральнае лік, якое нават не пар. Такім чынам, Evens - рэальная падгрупа натуралістаў.

Але любое натуральнае лік можа быць звязана з унікальным нават натуральным лік. У вас ёсць

12,24,36,,147294,1\to2, 2\to4, 3\to6, \ldots, 147\to294, \ldots

. Гэта адлюстраванне - ін'екцыя.

Гэта азначае, што натуральныя колькасці - гэта бясконцае лік.

У якасці іншага прыкладу разгледзім набор літар абмежаванай даўжыні. Гэты набор выглядае так

Σ={"","a","ab","aab","bob",}\Sigma^* = \{"", "a", "ab", "aab", "bob", \ldots\}

, хаця я не прывёў іх у пэўны парадак. Адным з элементаў набору з'яўляецца радок, якая складаецца з літары "а", якая паўтараецца падчас Googleplex. Зараз паглядзіце на мноства

bΣ={"b"+σσΣ}b\Sigma^* = \{ "b"+\sigma | \sigma \in \Sigma^*\}

альбо набор радкоў, утвораных уключэннем кожнай радкі

Σ\Sigma^*

і прэфікс літара "б". Вось так

bΣ={"b","ba","bab","baab","bbob",}b\Sigma^* = \{"b", "ba", "bab", "baab", "bbob", \ldots\}

, уключаючы радок, якая складаецца з літары "b", за якой ідзе літара "a" Googleplex. Таму што кожны элемент

\bΣ\b\Sigma^*

isafinitelengthstringofletters,itisasubsetofΣ.Sincethereareelementsof[math]Σ[/math]notin[math]bΣ[/math],itisapropersubset.Andsinceeveryelementof[math]Σ[/math]correspondstoauniqueelementin[math]bΣ[/math],thereisaninjection[math]ΣbΣ[/math].So[math]Σ[/math]isaninfiniteset. is a finite-length string of letters, it is a subset of \Sigma^*. Since there are elements of [math]\Sigma^*[/math] not in [math]b\Sigma^*[/math], it is a proper subset. And since every element of [math]\Sigma^*[/math] corresponds to a unique element in [math]b\Sigma^*[/math], there is an injection [math]\Sigma^* \to b\Sigma^*[/math]. So [math]\Sigma^*[/math] is an infinite set.

Два іншыя адказы кажуць пра "падліковыя" і "нелічальныя" колькасці, якія на самай справе не з'яўляюцца асноўнай тэмай увагі. Груба кажучы, набор "падлічваецца", калі яго можна ўводзіць у мноства натуральных лікаў. Усе канчатковыя мноствы падлічаныя. Набор натуральных лікаў, відавочна, падлічваецца пад гэтым азначэннем.

Σ\Sigma^*

падлічваецца.

Матэматык Георг Кантор даказаў, што нельга ўводзіць набор сіл мноства (мноства ўсіх падмностваў) у набор - нельга ўводзіць

{,{1},{2},{1,2}}\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}

ў

{1,2}\{1,2\}

напрыклад. Гэта азначае, што вы не можаце зрабіць ін'екцыю

P(N)N\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{N}

, вось чаму

P)N)\mathcal{P})\mathbb{N})

не падлічваецца альбо не падлічваецца. Такім чынам, некаторыя бясконцыя мноствы падліковыя, а некаторыя бясконцыя мноствы - незлічаныя.

Паняцце, што бясконцая колькасць можа быць уведзена ў правільную падмноства само па сабе, з'яўляецца эфектыўным вызначэннем таго, што значыць, што колькасць бясконца.