У чым розніца паміж алгебраічным ураўненнем, няяўным ураўненнем і дыферэнцыяльным ураўненнем?


адказ 1:

Прыкладам алгебраічнага раўнання

ax4+bx+c=0{\displaystyle a x^{4}+b x+c=0}

Алгебраічнае ўраўненне або паліномнае раўнанне - гэта раўнанне формы

A=B{\displaystyle A=B}

дзе А і В - паліномы з каэфіцыентамі ў пэўным полі, часта ў полі рацыянальных лікаў.

Алгебраічнае ўраўненне мае выгляд

p(x)=0.p(x) = 0.

Для большасці аўтараў алгебраічнае ўраўненне з'яўляецца адназначным, гэта значыць, што яно ўтрымлівае толькі адну зменную. З іншага боку, паліномнае ўраўненне можа ўключаць некалькі зменных. У гэтым выпадку яго называюць мультыварыянтным, а тэрмін паліномнае ўраўненне звычайна аддае перавагу алгебраічнаму раўнанню.

Прыкладам няяўнага раўнання

x2+xy+5y2=kx^2+x y + 5 y^2 = k

Няяўнае ўраўненне ўяўляе сабой няяўную сувязь паміж зменнымі і сумессю гэтых зменных адносна розных магутнасцей без выдзялення пэўнай залежнай зменнай на адным баку ўраўнення.

Агульная форма няяўнай функцыі:

F(x,y,z,)=0.F(x,y,z,…)=0.

Дыферэнцыяльнае раўнанне - гэта матэматычнае раўнанне, якое адносіць функцыю да яе вытворных. Парадак дыферэнцыяльнага ўраўнення - парадак найвышэйшай вытворнай невядомай функцыі ў гэтым раўнанні.

Агульнае дыферэнцыяльнае раўнанне (ODE) змяшчае адну або некалькі функцый незалежнай зменнай і яе вытворных. Частковае дыферэнцыяльнае ўраўненне (PDE) - гэта дыферэнцыяльнае ўраўненне, якое змяшчае невядомыя шматмерныя функцыі і іх частковыя вытворныя.

Прыклады:

Аднароднае лінейнае звычайнае дыферэнцыяльнае раўнанне другога парадку:

d2u(x)dx2xdu(x)dx+u(x)=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}u(x)}{dx^{2}}}-x{\frac {du(x)}{dx}}+u(x)=0.}

Ураўненне Лапласа (аднастайнае частковае дыферэнцыяльнае раўнанне з лінейным пастаянным каэфіцыентам другога парадку эліптычнага тыпу) у двух вымярэннях:

2ux2+2uy2=0.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.}

Ураўненне Лапласа ў трох вымярэннях (дэкартавыя каардынаты):

Δf=2fx2+2fy2+2fz2=0.{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}

Дыферэнцыяльнае ўраўненне Бернулі (звычайнае) выгляду:

y+P(x)y=Q(x)yn{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}

Хвалі хвалы (лінейнае частковае дыферэнцыяльнае раўнанне другога парадку) у прасторавым вымярэнні:

2ut2=c22ux2{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}

Раўнанне цяпла (параболічнае частковае дыферэнцыяльнае раўнанне):

utα(2ux2+2uy2+2uz2)=0{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0}