У чым галоўная розніца паміж кропкавым прадуктам і папярочным прадуктам?


адказ 1:

Хоць абодва з'яўляюцца бінарнымі аператарамі, якія працуюць з любымі двума вектарамі, ёсць розныя адрозненні. Асноўнае адрозненне заключаецца ў тым, што кропкавы прадукт прыводзіць да скалярнага значэння, г.зн. да адзінага ліку, у той час як папярочны прадукт прыводзіць да іншага вектару, тройчы лікаў.

Яшчэ адно адрозненне заключаецца ў тым, што ў кропкавым творы вынік грунтуецца на прадуктах кожнага кампанента аднаго вектара з адпаведным кампанентам іншага вектара (X1 * X2, Y1 * Y2, Z1 * Z2), а ў папярочным творы вынік грунтуецца на прадуктах кожны кампанент вектара НЕ адпавядае кампанентам іншага вектара (X1 * Y2, X1 * Z2, Y1 * X2, Y1 * Z2, Z1 * X2, Z1 * Y2). Такім чынам, калі вы паглядзіце на дзевяць магчымых прадуктаў умяшання паміж трыма кампанентамі двух вектараў, тры з гэтых прадуктаў выкарыстоўваюцца для кропкавага прадукту, а шэсць з гэтых прадуктаў - для вектарнага прадукту, і перакрыццяў няма.


адказ 2:

Я хацеў бы мець справу з алгебраічнай пункту гледжання кропкавага і папярочнага твора, а не геаметрычнай. Я мяркую, як некаторыя аўтары адзначаюць, што тэрмін кропкавы і папярочны прадукт на самай справе паходзіць ад вывучэння кватернионов.

Квартрыён мае форму

q = a + bi + cj + dk

Не менш складаная колькасць, як гэта прыведзена ў форме

c = a + bi

У форме таксама называецца квартрыён

q=(r,v)q=(r,\vec{v})

Дзе 'r' называецца скалярнай часткай (вышэй) і '

v\vec{v}

'- вектарная частка (bi + cj + dk) у прыведзеным чвэрцінніку q.

Разгледзім два кварталы

q1=(r1,v1)    q2=(r2,v2)q_1=(r_1,v_1) \ \ \ \ q_2=(r_2,v_2)

Тады

q1q2=(r1r2v1.v2,r1v2+r2v1+v1×v2)q_1q_2=(r_1r_2-v_1.v_2,r_1v_2+r_2v_1+v_1\times v_2)

Куды

v1.v2v_1.v_2

з'яўляецца кропкавым прадуктам і

v1×v2v_1\times v_2

Кроспрадукт.

Што яшчэ адзін квартэрён.

Квартрыён без скалярнай часткі (r = 0) называецца вектарным квартніёнам.

Калі

q1=(0,v1),q2=(0,v2)q_1=(0,v_1),q_2=(0,v_2)

быць дзве вектарныя чвэрці, бо іх памнажэнне простае

(v1.v2,v1×v2)(-v_1.v_2,v_1 \times v_2)

які па іроніі лёсу не можа быць вектарнай чвэрцю.

Прыемна тое, што вы можаце выразна бачыць і кропкавы прадукт, і перакрыжаваны прадукт у адным размнажэнні. І адсюль вы бачыце, што кропкавы прадукт - скалярная частка квартрыёна, а папярочны прадукт - вектарная частка квартэрыёна.

Калі вы сапраўды падоўжыце множанне фармальна ў форме + bi + cj + dk, вы атрымаеце той жа вынік пры дапамозе дадатковых правілаў для квартэрніёнаў

i², j², k², ijk = -1

ij = k, ji = -k

jk = я, ...

ki = j ...

Гэтыя дадатковыя ўласцівасці ўключаюць тып арыентацыі, які карысны для кіравання атрыбутамі накіраванага вектара.

(0+b1i+c1j+d1k)(0+b2i+c2j+d2k)=((b1b2+c1c2+d1d2),(c1d2c2d1)i(b1d2b2d1)j+(b1c2b2c1)k)(0+b_1i+c_1j+d_1k)(0+b_2i+c_2j+d_2k)=(-(b_1b_2+c_1c_2+ d_1d_2),(c_1d_2-c_2d_1)i-(b_1d_2-b_2d_1)j+(b_1c_2-b_2c_1)k)

Чэрці паводзяць сябе больш як лічбы, яны нават маюць мультыплікатыўную зваротную форму. Так ён можа мець падзел. І за

q=(a+bi+cj+dk),   q=(a+bi+cj+dk), \ \ \

За

qq‾¹=1   qq‾¹=1\ \ \

q‾¹=1(a²+b²+c²+d²)(abicjdk)q‾¹=\frac{1}{(a²+b²+c²+d²)} (a-bi-cj-dk)

Гэта адрозніваецца ад вектараў, якія не маюць мультыплікатыўнай зваротнай і не маюць аперацыі дзялення ў Vector. Замест таго, каб называць кропкавы прадукт і папярочны прадукт як памнажэнне паміж вектарамі, мы проста вызначаем гэтыя аперацыі такімі, якія яны ёсць. Гэта толькі некаторыя аперацыі паміж вектарамі, такія як складанне, адніманне і г.д.

Кропкавы прадукт і папярочны прадукт паміж вектарамі можна пашырыць далей у большай колькасці, а не толькі строга ў трох, як у Quarternions. Хоць CrossProduct - гэта вялікая тэма, у больш высокім аспекце я не магу яго абмяркоўваць.

Гэта ўсе алгебраічныя перспектывы.

З боку геаметрычнай пункту гледжання:

Кропкавае выраб паміж двума вектарамі паказвае на артаганальную праекцыю аднаго вектара на іншы. Гэта прыгожа супадае з артаганальнымі праекцыямі іншага на арыгінал. Такім чынам

v.u=u.vv.u = u.v

Прытрымліваюцца пэўных правілаў, якія найбольш важныя для распаўсюджвання.

u.(v+w)=u.v+u.wu.(v+w) =u.v+u.w

Для CrossProduct лепшае, што вы можаце вызначыць геаметрычна, - гэта рух, які круціцца вакол нерухомай восі, бо ён можа круціцца альбо супраць гадзіннікавай стрэлкі, альбо па гадзіннікавай стрэлцы (у двух кірунках) супраць гадзіннікавай стрэлкі.


адказ 3:
  1. Крыжовы твор - вектар; Кропкавы прадукт - скалярны
  2. Rn\mathbb R^n
  3. гэта крыжаваны прадукт
  4. (n1)(n-1)
  5. -ары; кропкавы прадукт бінарны. Крыж змяняецца; Кропкавы выраб сіметрычны. Кропка нуля вырабу азначае, што вектары артаганальныя. Папярочны нуль твора азначае, што вектары залежаць лінейна. Кропкавы прадукт атрымліваецца шляхам пераўтварэнняў у
  6. O(n)O(n)
  7. ;; Крыжовы твор захаваўся праз пераўтварэнні ў
  8. SO(n)SO(n)
  9. Кропкавы выраб вектараў - гэта здабытак даўжынь вектараў з косінусам кута паміж імі. Ў
  10. R3\mathbb R^3
  11. Папярочны выраб двух вектараў мае па памерах выраб даўжынь вектараў з сінусам кута паміж імі.