У чым фізічная розніца паміж часціцай, хваляй і пакетам хваль?


адказ 1:

1-е

Forasimpleharmonicwaveoftheformϕ=ei(kxωt),wheresymbol[math]k=2πλ[/math]isthewavenumber,[math]λ[/math]isthewavelength,[math]x[/math]isthepositioncoordinate,[math]ω=2πν[/math]istheangularfrequency,[math]ν[/math]isthefrequency,and[math]t[/math]isthetime.Considertwocases,namely,For a simple harmonic wave of the form \phi = e^{i(kx-\omega t)}, where symbol [math]k = 2\pi\lambda[/math] is the wavenumber, [math]\lambda[/math] is the wavelength, [math]x[/math] is the position coordinate, [math]\omega = 2\pi\nu[/math] is the angular frequency, [math]\nu[/math] is the frequency, and [math]t[/math] is the time. Consider two cases, namely,

(а)

Asingleplanewave,withphase(kxωt)=constant:A single plane wave, with phase (k x - \omega t) = constant:

У гэтым выпадку кропка хвалі мае становішча

x=ωtk+constantkx = \frac {\omega t}{k} + \frac {constant}{k}

Гэтая хваля рухаецца ўздоўж восі х з пастаяннай хуткасцю, званай фазавай хуткасцю

vph=dxdt=ωkv_{ph} = \frac {dx}{dt} = \frac {\omega}{k}

(б) група плоскіх хваль (хваля хваляў):

Ψ(x,t)=+a(k)ϕ(x,t,k)+a(k)ei(kxωt)dk\Psi (x,t)= \sum_{-\infty}^{+\infty} a(k)\phi (x, t, k) \approx \int _{-\infty}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

=0a(k)ei(kxωt)dk+0+a(k)ei(kxωt)dk = \int_{-\infty}^{0} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk + \int_{0}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

=0+a(k)ei(kxωt)dk+0+a(k)ei(kxωt)dk = \int_{0}^{+\infty} a(-k) e^{i(-kx-\omega t)}dk + \int_{0}^{+\infty} a(k) e^{i(kx-\omega t)}dk

wherethelatterexpressionforΨ(x,t)occursonlywhenthefunctionalrelationbetween[math]ω[/math]and[math]k[/math]islinear,andthephasevelocityofthetwopartsofthewavegrouptravelinthe[math]x[/math]and+[math]x[/math]directionswiththesamespeedandwithoutchangingshape.Thisisthecaseforundispersedwavemotion,suchasthepropagationoflightinavacuumandforastringstretchedbetweentwoendpoints.where the latter expression for \Psi (x, t) occurs only when the functional relation between [math]\omega[/math] and [math]k[/math] is linear, and the phase velocity of the two parts of the wave group travel in the –[math]x[/math] and +[math]x[/math] directions with the same speed and without changing shape. This is the case for undispersed wave motion, such as the propagation of light in a vacuum and for a string stretched between two endpoints.

2-е

Forthecaseofdispersedwavemotion(waterwavesandlightpropagationinanopticalmedium),thereisadifferenceinphaseoftheindividualϕ(x,t,k);thefunctionalrelationbetween[math]ω[/math]and[math]k[/math]isnonlinear.Hence,thewavepacketchangesshapeandcannolongerbecharacterizedbythephasevelocity[math]v=ωk[/math].Instead,valuesof[math]a(k)[/math]areassumedsignificantonlywhen[math]k[/math]iswithinasmallinterval[math]Δk[/math],implyingFor the case of dispersed wave motion (water waves and light propagation in an optical medium), there is a difference in phase of the individual \phi (x, t, k); the functional relation between [math]\omega[/math] and [math]k[/math] is nonlinear. Hence, the wave packet changes shape and can no longer be characterized by the phase velocity [math]v = \frac {\omega}{k}[/math]. Instead, values of [math]a(k)[/math] are assumed significant only when [math]k[/math] is within a small interval [math]\Delta k [/math], implying

x=ωtk+constantkx = \frac {\omega t}{k} + \frac {constant}{k}

З пашырэннем Тэйлара

ω=ω(k0)+(dωdk)k0+\omega = \omega (k_{0}) + (\frac {d\omega}{dk})_{k_{0}} + …

Пры пашырэнні першага парадку

Ψ(x,t)=ei(kxωt)Δka(k)ei(xdωdkt)(kk0)dk\Psi (x, t) = e^{i(kx-\omega t)} \int_{\Delta k} a(k) e^{i(x-\frac{d\omega}{dk}t)(k-k_{0})}dk

whereω0ω(k0).Thetermoutsidetheintegralrepresentswavemotionwithaconstantphase,implying[math](k0xω0t)[/math]=constant,so[math]ei(k0xω0t)[/math]=constant.Since[math]Ψ[/math]isafunctionof[math]x[/math]and[math]t[/math],then[math]x[/math]and[math]t[/math]variationontherighthandsideoftheaboveequationcanonlycomefromtheexponentialundertheaboveintegral.Unitsimply[math]dωdk[/math]isavelocity,whichisinterpretedasthevelocityofthewavepacket,andcalledthegroupvelocity[math]vg[/math],givenbywhere \omega_{0} \equiv \omega (k_{0}). The term outside the integral represents wave motion with a constant phase, implying [math](k_{0} x - \omega_{0} t) [/math]= constant, so [math] e^{i (k_{0}x–\omega_{0}t)}[/math] = constant. Since [math]\Psi[/math] is a function of [math]x[/math] and [math]t[/math], then [math]x[/math] and [math]t[/math] variation on the right-hand side of the above equation can only come from the exponential under the above integral. Units imply[math]\frac {d\omega}{dk}[/math]is a velocity, which is interpreted as the velocity of the wave packet, and called the group velocity [math]v_{g}[/math], given by

vg=dωdkv_{g} = \frac {d\omega}{dk}

У працы Луі дэ Бройлі (1924) ён звязаў гэты лакалізаваны рух хвалі з рухам часціц, усталяваўшы групавую хуткасць пакета, роўную хуткасці масы. Гэты метад прывёў да яго знакамітага раўнання, якое звязвае даўжыню хвалі і лінейны імпульс дадзенай часціцы

λ=hp\lambda = \frac{h}{p}


адказ 2:

У рэальнай фізіцы розніцы няма. Мы выявілі, што фатоны, электроны і ўсе іншыя субатамныя часціцы, якія мы лічылі «часціцамі», на самай справе валодаюць хвалепадобнымі ўласцівасцямі. Іншае даследаванне паказала, што наша класічнае паняцце "часціца" было недапрацавана і што ў фізічнай сусвеце іх на самай справе няма. Замест гэтага, матэрыя і энергія існуюць у пакетах хваль. Квантовыя адзінкі, якія маюць паводзіны як класічных часціц, так і класічных хваль.

Здаецца, яны змагаюцца з гэтым на канцэптуальным узроўні, а не выкарыстоўваюць поўную матэматыку для апісання гэтых рэчаў. Падумайце пра пакет хваляў канцэптуальна як пра адзінку з фіксаванай энергіяй, якая мае ўсе ўласцівасці часціц і хваль адначасова.


адказ 3:

Хвалі і пакеты хваль - гэта матэматычныя паняцці, якія могуць быць выкарыстаны для прагназавання паводзін простых часціц, такіх як фатоны і электроны. Як і гэтыя часціцы, хваля можа перамяшчацца з аднаго месца ў іншае. І дзве хвалі могуць адмяніць адна адну ў лакалізаваных абласцях, што адпавядае таму, што назіраецца пры прамяне электроннага ці светлавога прамяня праз пару слотаў.

Хваля з самым простым матэматычным апісаннем - гэта плоская хваля з адзінай даўжынёй хвалі і частатой, якая распаўсюджваецца на ўсю прастору. Відавочна, што кожны сапраўдны эксперымент змяшчае часціцы, якія трымаюцца бліжэй адзін да аднаго. Хвалі хваляў - гэта нешта больш лакальнае, што адпавядае, напрыклад, імпульсу ад лазера. Было ўстаноўлена, што вы можаце аб'яднаць шэраг плоскіх хваль з некалькі рознай даўжынёй хвалі і напрамкамі, каб сфармаваць лакалізаваны пакет у любой форме.

Хоць пакет хваляў можа захоўваць абмежаваную форму і рухацца па прасторы, ён усё яшчэ не з'яўляецца часціцай. Хваля, якая ўяўляе сабой часціцу, мае дадатковую ўласцівасць: яе колькасна ацэньваюць. Калі вы падлічыце, якая колькасць хвалі прысутнічае (матэматычна інтэгруйце «норму» хвалі на працягу ўсёй прасторы), вы атрымаеце адказ нуль, адзін ці два і г.д. Гэта адлюстроўвае той факт, што вы не можа мець палову электрона або фатона. Гэты факт робіць гэтыя рэчы часціцамі.